Browsing by Author "Reis, Ilda"
Now showing 1 - 10 of 12
Results Per Page
Sort Options
- An introduction to the level set methods and its applicationsPublication . Reis, Ilda; Tavares, João Manuel R.S.; Jorge, Renato N.Finding a mathematical model which describes the evolution of an interface (in this context, an interface is understood as the boundary between two separate and closed regions, each one having a volume measure different from zero) over the time, like a burning flame or breaking waves, can be a challenging problem. The main difficulties arise when sharp corners appear or different parts of the interface are split or merged, [1]. That kind of interface can be modeled as the embedded zero level set of an implicit time-dependent function. So, the evolving interface can be followed by tracking the zero level set of that implicit function. The above briefly described technique, known as the Level Set Method was introduced by Osher and Sethian, [2]. The idea behind this method [3] is to start with a closed curve, in two dimensions (or a surface in three dimensions) and allow the curve to move perpendicularly to itself from an initial speed, F. If the sign speed is preserved, the location of the propagating front is computed as the arrival time T(x, y) of the front as it crosses the point (x, y). In this case, the equation that describes this arrival time is given as: |∇T| F = 1, T = 0 on. In the general case, the interface can not be considered as the level set of a spacial-dependent function because the arrival time is not a single-valued function. The way to address this difficulty is to represent the initial curve implicitly as a zero level set of a function in one higher dimension. So, at any time, the front is given by the zero level set of the time-dependent function, , referred to as the level set function. Mathematically, the set written as: {x(t) : (x(t), t) = 0} represents the interface at time t. Applying the chain rule and some algebraic manipulation, we can obtain the level set equation: t + |∇ | F = 0, (x(0), 0) = . This method is a powerful mathematical and computational tool for tracking the evolution of curves/surfaces along image sequences. The main advantage came from a different approach similar to the Eulerian formulation. Instead of tracking a curve through time, the Level Set Method evolves a curve by updating the level set function at fixed coordinates through time, [4]. This approach [3], which handles topological merging and breaking in a natural way, is easily generalized to any other dimensional space and do not require that the moving front behaves as an explicit function. The Level Set Method has been widely applied in different areas [3] like geometry, grid generation, image enhancement and noise removal in image processing, shape detection and recognition in image analysis, combustion and crystal growth analysis, among others. Our purpose is to use this approach in the segmentation of structures represented in medical images. This task is very important for an adequate medical diagnosis, for example, in the location of anatomical structures or even in the analysis of its motion. The main difficulties [4] are due to the large variability in the structure shapes and the considerable quantity of noise that acquired images can have. We designed a computational platform in C++, using Visual Studio .NET 2005 environment, and integrated in it the computational library OpenCV (http://sourceforge.net/projects/opencvlibrary) that gave us the possibility for using a great quantity of basic algorithms available for image processing and analysis. Now, we are implementing the above described technique to segment anatomical structures represented in medical images. Our final goal is to estimate the material properties of anatomical structures segmented and tracked along image sequences. In this presentation, we are going to describe the Level Set methodology, exhibit some of its possible applications, present our segmentation method under development and show some of its experimental results.
- Computer analysis of objects’ movement in image sequences: methods and applicationsPublication . Tavares, João Manuel R.S.; Carvalho, Fernando; Oliveira, Francisco; Reis, Ilda; Vasconcelos, Maria João M.; Gonçalves, Patrícia C.T.; Pinho, Raquel; Ma, ZhenComputer analysis of objects’ movement in image sequences is a very complex problem, considering that it usually involves tasks for automatic detection, matching, tracking, motion analysis and deformation estimation. In spite of its complexity, this computational analysis has a wide range of important applications; for instance, in surveillance systems, clinical analysis of human gait, objects recognition, pose estimation and deformation analysis. Due to the extent of the purposes, several difficulties arise, such as the simultaneous tracking of manifold objects, their possible temporary occlusion or definitive disappearance from the image scene, changes of the viewpoints considered in images acquisition or of the illumination conditions, or even nonrigid deformations that objects may suffer in image sequences. In this paper, we present an overview of several methods that may be considered to analyze objects’ movement; namely, for their segmentation, tracking and matching in images, and for estimation of the deformation involved between images.
- Construção das secções planas de um cubo e sua representação em ambiente 2D do GeoGebraPublication . Reis, Ilda; Cordeiro, EditeA projecção em ambiente bidimensional (2D), de sistemas de coordenadas tridimensionais (3D), permite representar objetos 3D em perspetiva. Quando tais sistemas são manipulados através de certos parâmetros angulares, conseguimos visualizar diversas perspetivas desse objeto. A implementacão em GeoGebra 4.0 destes sistemas permitiu-nos dar um procedimento para a construcão da secção plana de um cubo, determinada pelo plano de interseção definido por três pontos móveis, não colineares, sobre as suas arestas. A visualizacão e manipulação da construção que apresentamos permite observar, conjeturar e demonstrar relações entre a geometria de uma secção e a posição do plano de corte.
- Construção das secções planas de um cubo e sua representação em ambiente 2D do GeoGebraPublication . Reis, Ilda; Cordeiro, EditeA dimensão gráfica constitui uma componente fundamental do estudo da geometria, pelo que o recurso a tecnologias com características pedagógicas adequadas seja importante. O GeoGebra 4.0 por ser um software educacional livre que agrega simultaneamente um sistema de álgebra computacional, um sistema geométrico interativo e um sistema de cálculo é o exemplo de uma ferramenta facilitadora do processo ensino-aprendizagem dos conteúdos desta área. Neste trabalho simulamos um sistema de coordenadas tridimensional representado em ambiente bidimensional a fim de visualizar e manipular objetos geométricos 3D. Utilizando este sistema de coordenadas representamos um cubo e descrevemos um procedimento para a construção da secção determinada por um plano definido por três pontos móveis, não colineares, sobre as suas arestas. A visualização e manipulação de tal construção permitem observar, conjeturar e demonstrar relações entre a geometria de uma secção e a posição do plano de corte. A compreensão e a capacidade de representação de um tal procedimento por parte dos alunos respondem positivamente às indicações metodológicas dos programas do Ensino Secundário. Com efeito, em (DES, 2001, p.25) pode ler-se “É conveniente que o estudante fique a saber desenhar representações planas dos sólidos com que trabalha, a descrever a intersecção do cubo com um plano dado, a saber construir e a desenhar uma representação da intersecção obtida”.
- Dinâmica do desdobramento de sólidos geométricos com recurso ao GeoGebra 2DPublication . Cordeiro, Edite; Reis, Ilda; Delgado, ManuelO GeoGebra é um software educacional livre que permite manipular objetos matemáticos do plano, representando-os algébrica e geometricamente. Neste artigo recorremos a conceitos matemáticos, como matrizes de mudança de base e transformações lineares, a fim de simularmos a representação de objetos tridimensionais em GeoGebra e implementarmos um procedimento para a planificação de prismas regulares retos.
- Dinâmica do desdobramento de sólidos geométricos. Uma aplicação com recurso ao GeoGebra 2DPublication . Reis, Ilda; Cordeiro, Edite; Delgado, ManuelA Geometria é o ramo da matemática dedicado ao estudo de questões relacionadas com a posição relativa de objetos e suas propriedades, num determinado espaço. A introdução de referenciais cartesianos para o estudo de elementos geométricos, permite a tradução de problemas algébricos em problemas geométricos e vice-versa, facilitando a sua resolução. O seu estudo promove o raciocínio lógico e o pensamento dedutivo para a resolução de problemas. A aplicação de conceitos geométricos é uma competência utilizada em muitas profissões, daí a sua importância no currículo de Matemática dos vários níveis de ensino. De acordo com Hoyles e Jones [1], na investigação de um problema, o professor deverá fornecer atividades que promovam a ligação entre o raciocínio empírico e o raciocínio dedutivo. A investigação de propriedades de objetos geométricos, no plano ou no espaço, sem a sua visualização e manipulação pode não permitir percecionar os conceitos envolvidos. Nesse sentido, as novas tecnologias, através da representação de objetos, facilitam a compreensão dos conceitos matemáticos envolvidos. Desenvolvido especificamente para fins educacionais, o software Geo-Gebra permite a utilização simultânea de um sistema de álgebra computacional, de um sistema geométrico interativo e de um sistema de cálculo. A interação dinâmica das várias representações promove a compreensão dos conceitos pela via experimental. No artigo que propomos recorremos a conceitos de Álgebra Linear, como matrizes de mudança de base e transformações lineares, para simularmos a representação de objetos tridimensionais no ambiente bidimensional do GeoGebra, um pouco à semelhança do que é feito em [2]. Descrevemos os passos que determinam um sistema tridimensional em ambiente 2D e usámo-lo para manipular objetos geométricos do espaço. Especificamente, implementamos um procedimento para a planificação de um prisma regular reto, que recorre ao desdobramento das linhas poligonais correspondentes à fronteira dos polígonos regulares que definem as bases do prisma. A retificação dinâmica destas linhas poligonais fechadas permitiu conjeturar que os vértices do polígono descrevem trajetórias espirais, o que depois se provou. As planificações têm aplicações nomeadamente ao nível do empacotamento de objetos. Por exemplo, na área da Cristalografia, que estuda a disposição dos átomos nos sólidos e a importância da repetição de padrões segundo as três dimensões, esta é uma questão relevante. Bibliografia [1] C. Hoyles, K. Jones, Proof in Dynamic Geometry Contexts, In C. Mammana and V. Villani (Editors). Perspectives on the Teaching of Geometry for the 2lst Century - Kluwer Academic Publishers, The Netherlands, 1998. [2] Jeong-Eun Park, Young-Hyun Son, O-Won Kwon, Hee-Chan Yang, Kyeong-Sik Choi, Constructing 3D graph of function with GeoGebra(2D), First Eurasia Meeting of GeoGebra (GeoGebraInstitute of Ankara) 46–55, 2010.
- Divisão da lemniscata em partes iguaisPublication . Reis, IldaO objectivo deste texto é o de completar, em detalhe, o lado direito da tabela que se anexa, que compara o papel de duas curvas - a circunferência unitária e a lemniscata de Bernoulli - na construção das inversas das funções comprimento de arco e na divisão em partes iguais. As lemniscatas caracterizam-se por serem conjuntos de pontos do plano cujo produto das distâncias a dois pontos fi xos é constante. O cálculo do comprimento total da lemniscata que aqui consideramos conduz a um integral elíptico (Bernoulli, 1694), de função que não tem primitiva imediata mas cujo valor se obtém por procedimento elementar através do algoritmo, delineado por Lagrange (1785)e Gauss (1790), que constrói a média aritmética e geométrica de dois números positivos. A função comprimento de arco da lemniscata tem propriedades semelhantes às conhecidas para a arco seno trigonométrico e a sua inversão conduz a um caso particular, de especial interesse, na família das funções elípticas: o seno da lemniscata, senlem. Esta é uma função periódica de período 2w cuja extensão meromorfa aos complexos é duplamente periódica (de período 2w e 2wi)e portanto elíptica, onde 2w designa o comprimento total da lemniscata que substitui neste contexto 2pi, o comprimento da circunferência unitária e período da função seno trigonométrico, sen. Veri ca fórmulas de adição análogas às da função seno, obtidas por Euler em 1751 depois de receber cópia da obra de Fagnano (1718)onde se deduz uma fórmula para o comprimento do dobro de um arco de lemniscata e, consequentemente, que é possível duplicar arcos de lemniscata, com régua não graduada e compasso. A possibilidade de construir, com régua não graduada e compasso, um polígono regular de n lados é equivalente à divisão, com estes instrumentos, da circunferência unitária em n arcos de igual comprimento; e este procedi- mento corresponde à construção dos reais sen (2kpi/n), onde 0 <= k < n-1, uma vez que os valores dos cossenos destes ângulos têm uma relação quadrática com os senos. Gauss e Wantzel provaram que esta construção é possível se e só se n = 2^kp1p2...pt, onde k é um inteiro não negativo e p1, p2, ... , pt são primos de Fermat distintos. Por falta de simetria, estas interligações geométricas não se transferem integralmente para o contexto da lemniscata e por isso não falaremos aqui da inscrição de polígonos regulares na lemniscata. O que Abel (1827) generalizou para a lemniscata foi a equivalência entre a possibilidade de construir, com régua não graduada e compasso, os reais senlem(2kw/n), onde 0 <= k <= n - 1, e os valores de n como descritos acima. Ou seja, é possível dividir em n arcos de igual comprimento um quadrante da lemniscata se e só se n tem a factorização indicada. Na apresentação que aqui fazemos deste assunto seguiremos de perto os textos de [Hadlock] e [Rosen]; a bibliogra a contém outras referências que complementam o texto. Como apoio, incluiram-se alguns capítulos de abordagem geral, mas resumida, sobre funções elípticas, números construíveis, polígonos regulares construíveis - seguindo as demonstrações originais de Gauss e Wantzel - e a Teoria de Galois.
- A importância dos números primos na conceção de sistemas de identificaçãoPublication . Cordeiro, Edite; Reis, IldaAlguma vez quis saber o que significa o número de série de uma nota de euro? De onde provém e quais os métodos de segurança contra falsificações? As notas de euro, emitidas pelos bancos centrais dos estados membros da zona Euro, possuem vários sistemas tecnológicos de segurança para dificultar a sua reprodução. A banda holográfica e a marca de água são dois deles. Um outro mecanismo de segurança consiste na validação do número de série das notas, cuja robustez analisaremos. A maioria dos sistemas de identificação alfanuméricos com algarismos de controlo é baseado na aritmética modular. Como dois exemplos, propomos falar do número de série das notas de euro e do número de identificação bancária. Avaliaremos a robustez dos seus algoritmos de controlo e constataremos que a utilização de números primos na conceção de um sistema de identificação modular, pode melhorar substancialmente a sua eficácia na deteção de erros.
- Observando propriedades de figuras planas com o GeoGebraPublication . Cordeiro, Edite; Reis, IldaCom o objetivo de facilitar o ensino da Geometria no plano e permitir que os alunos se apropriem rapidamente das potencialidades gráficas associadas ao plano cartesiano, propomos o desenvolvimento de tarefas de uma forma interativa. Qualquer software dinâmico serve o nosso propósito, porém usaremos o GeoGebra por ser um programa grátis, de fácil utilização, pouco exigente em termos de capacidades computacionais e muito potente para os fins em vista. Na Sessão Prática serão exploradas potencialidades do GeoGebra, através da realização de atividades para o estudo e compreensão de conceitos relacionados com as propriedades de figuras planas e com as transformações geométricas no plano.
- Operações aritméticas elementares em geoGebraPublication . Reis, Ilda; Cordeiro, EditeO GeoGebra é um software de matemática dinâmica que integra funcionalidades de geometria e álgebra. Por ser livre e de fácil utilização tem conseguido conquistar públicos de todos os graus de ensino, sendo atualmente uma ferramenta incontornável no ensino, e em particular, no ensino da matemática. Nesta sessão prática propomos construir materiais dinâmicos de avaliação das operações aritméticas e suas propriedades, especificamente para a simplificação de expressões fracionárias. A utilização de tais construções em ambientes computacionais dinâmicos que permitam explorar conceitos subjacentes à aritmética, podem efetivar a compreensão dos mesmos de uma forma lúdica. A realização das atividades propostas constitui uma oportunidade para usar algumas das potencialidades do GeoGebra e para fomentar a construção de outros materiais didáticos facilitadores da aprendizagem.