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- Automatic computation of conservation laws in the calculus of variations and optimal controlPublication . Gouveia, Paulo D.F.; Torres, Delfim F.M.We present analytic computational tools that permit us to identify, in an automatic way, conservation laws in optimal control. The central result we use is the famous Noether's theorem, a classical theory developed by Emmy Noether in 1918, in the context of the calculus of variations and mathematical physics, and which was extended recently to the more general context of optimal control. We show how a Computer Algebra System can be very helpful in finding the symmetries and corresponding conservation laws in optimal control theory, thus making useful in practice the theoretical results recently obtained in the literature. A Maple implementation is provided and several illustrative examples given.
- Automatic computation of conservation laws in the calculus of variations and optimal controlPublication . Gouveia, Paulo D.F.; Torres, Delfim F.M.We present analytical computational tools that permit us to identify, in an automatic way, conservation laws in optimal control. The central result we use is the famous Noether's theorem, a classical theory developed by Emmy Noether in 1918, in the context of the calculus of variations and mathematical physics, which was extended recently to the more general context of optimal control. We show how a Computer Algebra System can be very helpful in ¯nding the symmetries and corresponding conservation laws in optimal control theory, thus making useful in practice the theoretical results recently obtained in the literature. A Maple implementation is provided and several illustrative examples are given.
- Computação algébrica no cálculo das variações: determinação de simetrias e leis de conservaçãoPublication . Gouveia, Paulo D.F.; Torres, Delfim F.M.Os problemas de optimização dinâmica (em espaços de funções) tratados pelo calculo das variações, são normalmente resolvidos por recurso às condições necessárias de Euler-Lagrange, que são equações diferenciais de segunda ordem (ou de ordem superior, quando os problemas variacionais envolvem derivadas de ordem superior a um). Estas equações são, em geral, não lineares e de difícil resolução. Uma forma de as simplificar consiste em obter leis de conservação: primeiros integrais das equações diferenciais de Euler-Lagrange. Os primeiros integrais permitem baixar a ordem das equações e, em casos extremos, com um número suficientemente grande de primeiros integrais independentes, resolver o problema por completo. Se em áreas como a Física e a Economia a questão da existência de leis de conservação é resolvida de forma bastante natural, a própria aplicação sugerindo as leis de conservação (e.g. conservação de energia, conservação da quantidade de movimento, conservação do rendimento, etc.), de um ponto de vista estritamente matemático, dado um problema do calculo de variações, o processo de obtenção das leis de conservação ou, até mesmo, a demonstração de que elas existem (ou não), deixa de ser uma questão óbvia. Neste trabalho mostramos como um sistema de computação algébrica como o Maple pode ser muito útil na abordagem a estas questões. Apresentamos um conjunto de facilidades computacionais simbólicas que permitem, de uma forma sistemática e automática, identificar as leis de conservação de uma dada funcional integral do calculo das variações. O algoritmo usado tem por base o célebre teorema de Emmy Noether, que associa a existência de leis de conservação `as propriedades de invariância do problema (à existência de simetrias variacionais). Vários exemplos ilustrativos são apresentados, mostrando a utilidade das ferramentas desenvolvidas.
- Computação algébrica no cálculo das variações: determinação de simetrias e leis de conservaçãoPublication . Gouveia, Paulo D.F.; Torres, Delfim F.M.Os problemas de optimização dinâmica (em espaços de funções) tratados pelo cálculo das variações, são normalmente resolvidos por recurso às condições necessárias de Euler-Lagrange, que são equações diferenciais de segunda ordem (ou de ordem superior, quando os problemas variacionais envolvem derivadas de ordem superior a um). Estas equações são, em geral, não lineares e de difícil resolução. Uma forma de as simplificar consiste em obter leis de conservação: primeiros integrais das equações diferenciais de Euler-Lagrange. Se em áreas como a Física e a Economia a questão da existência de leis de conservação é resolvida de forma bastante natural, a própria aplicação sugerindo as leis de conservação (e.g. conservação de energia, conservação da quantidade de movimento, conservação do rendimento, etc.), de um ponto de vista estritamente matemático, dado um problema do cálculo de variações, o processo de obtenção das leis de conservação ou, até mesmo, a demonstração de que elas existem (ou não), deixa de ser uma questão óbvia. Neste trabalho mostramos como um sistema de computação algébrica como o Maple pode ser muito útil na abordagem a estas questões. Especificamente, propomos, como principal contribuição do nosso trabalho, um conjunto de facilidades computacionais simbólicas que permitem, de uma forma sistemática e automática, identificar as leis de conservação de uma dada funcional integral do cálculo das variações.
- Computation of conservation laws in optimal controlPublication . Gouveia, Paulo D.F.; Torres, Delfim F.M.Making use of a computer algebra system, we define computational tools to identify symmetries and conservation laws in optimal control.
- Computing ODE symmetries as abnormal variational symmetriesPublication . Gouveia, Paulo D.F.; Torres, Delfim F.M.We give a new computational method to obtain symmetries of ordinary differential equations. The proposed approach appears as an extension of a recent algorithm to compute variational symmetries of optimal control problems [P.D.F. Gouveia, D.F.M. Torres, Automatic computation of conservation laws in the calculus of variations and optimal control, Comput. Methods Appl. Math. 5 (4) (2005) 387-409], and is based on the resolution of a first order linear PDE that arises as a necessary and sufficient condition of invariance for abnormal optimal control problems. A computer algebra procedure is developed, which permits one to obtain ODE symmetries by the proposed method. Examples are given, and results compared with those obtained by previous available methods.
- Computing ODE symmetries as abnormal variational symmetriesPublication . Gouveia, Paulo D.F.; Torres, Delfim F.M.We give a new computational method to obtain symmetries of ordinary differential equations. The proposed approach appears as an extension of a recent algorithm to compute variational symmetries of optimal control problems [P.D.F. Gouveia, D.F.M. Torres, Automatic computation of conservation laws in the calculus of variations and optimal control, Comput. Methods Appl. Math. 5 (4) (2005) 387 409], and is based on the resolution of a first order linear PDE that arises as a necessary and sufficient condition of invariance for abnormal optimal control problems. A computer algebra procedure is developed, which permits one to obtain ODE symmetries by the proposed method. Examples are given, and results compared with those obtained by previous available methods.
- Computing ODE symmetries from a variational point of viewPublication . Gouveia, Paulo D.F.; Torres, Delfim F.M.
- Uma forma bidimensional que maximiza a resistência aerodinâmica newtonianaPublication . Gouveia, Paulo D.F.; Plakhov, Alexander; Torres, Delfim F.M.In a previous work [18, 19] it is investigated, by means of computational simulations, shapes of nonconvex bodies that maximize resistance to its motion on a rare ed medium, considering that bodies are moving forward and at the same time slowly rotating. Here the previous results are improved: we obtain a two-dimensional geometric shape that confers to the body a resistance very close to the supremum value (R = 1:4965 < 1:5). Um corpo bidimensional, apresentando um ligeiro movimento rotacional, desloca-se num meio rarefeito de partículas que colidem com ele de uma forma perfeitamente elástica. Em investigações que os dois primeiros autores realizaram anteriormente [18, 19], procuraram-se formas de corpos que maximizassem a força de travagem do meio ao seu movimento. Dando continuidade a esse estudo, encetam-se agora novas investigações que culminam num resultado que representa um grande avanço qualitativo relativamente aos então alcançados. Esse resultado, que agora se apresenta, consiste numa forma bidimensional que confere ao corpo uma resistência muito próxima do seu limite teórico. Mas o seu interesse não se fica pela maximização da resistência newtoniana; atendendo às suas características, apontam-se ainda outros domínios de aplicação onde se pensa poder vir a revelar-se de grande utilidade. Tendo a forma óptima encontrada resultado de estudos numéricos, é objecto de um estudo adicional de natureza analítica, onde se demonstram algumas propriedades importantes que explicam em grande parte o seu virtuosismo.
- Uma forma bidimensional que maximiza a resistência aerodinâmica newtonianaPublication . Gouveia, Paulo D.F.; Plakhov, Alexander; Torres, Delfim F.M.Um corpo bidimensional, apresentando um ligeiro movimento rotacional, desloca-se num meio rarefeito de partículas que colidem com ele de uma forma perfeitamente elástica. Em investigações que os dois primeiros autores realizaram anteriormente [Plakhov and Gouveia, 2007], procuraram-se formas de corpos que maximizassem a força de travagem do meio ao seu movimento. Dando continuidade a esse estudo, encetam-se agora novas investigações que culminam num resultado que representa um grande avanço qualitativo relativamente aos então alcançados.Esse resultado, que agora se apresenta, consiste numa forma bidimensional que confere ao corpo uma resistência muito próxima do seu limite teórico.