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Abstract(s)
Os problemas de optimização dinâmica (em espaços de funções) tratados
pelo calculo das variações, são normalmente resolvidos por recurso às condições
necessárias de Euler-Lagrange, que são equações diferenciais de segunda ordem (ou
de ordem superior, quando os problemas variacionais envolvem derivadas de ordem
superior a um). Estas equações são, em geral, não lineares e de difícil resolução.
Uma forma de as simplificar consiste em obter leis de conservação: primeiros integrais
das equações diferenciais de Euler-Lagrange. Os primeiros integrais permitem
baixar a ordem das equações e, em casos extremos, com um número suficientemente
grande de primeiros integrais independentes, resolver o problema por completo. Se
em áreas como a Física e a Economia a questão da existência de leis de conservação
é resolvida de forma bastante natural, a própria aplicação sugerindo as leis de conservação (e.g. conservação de energia, conservação da quantidade de movimento,
conservação do rendimento, etc.), de um ponto de vista estritamente matemático,
dado um problema do calculo de variações, o processo de obtenção das leis de conservação ou, até mesmo, a demonstração de que elas existem (ou não), deixa de ser
uma questão óbvia. Neste trabalho mostramos como um sistema de computação
algébrica como o Maple pode ser muito útil na abordagem a estas questões. Apresentamos
um conjunto de facilidades computacionais simbólicas que permitem,
de uma forma sistemática e automática, identificar as leis de conservação de uma
dada funcional integral do calculo das variações. O algoritmo usado tem por base o
célebre teorema de Emmy Noether, que associa a existência de leis de conservação
`as propriedades de invariância do problema (à existência de simetrias variacionais).
Vários exemplos ilustrativos são apresentados, mostrando a utilidade das ferramentas desenvolvidas.
Description
Keywords
Citation
Gouveia, Paulo D.F.; Torres, Delfim F.M. (2004). Computação algébrica no cálculo das variações: determinação de simetrias e leis de conservação. Cadernos de Matemática. CM04/I-23.